Filsafat Memikirkan Matematika

Filsafat Memikirkan Matematika

Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik perhatian filsuf dan ahli matematik disebut dengan berbagai nama, yakni:–  philosophy of mathematics (filsafat matematik)–  foundations of mathematics (landasan matematik)–  metamathematics (adi-matematik)–  Mathematical Philosophy (filsafat kematematikaan). Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil Pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusia pada dasarnya adalah pemikiran reflektif (reflective thinking).

Pemikiran relatif atau untuk singkatnya refleksi (reflection) dapat dicirikan sabagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh-sungguh dan terus-menerus (the kind of thinking that consits in turning a subject over in the mind and giving it serious and consecutiveconsideration).

Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal  yang sama (thinking attentively several times over of the same thing). Dalam sebuah kamus psikologi refective thinking dianggap sepadan dengan logikal thinking (pemikiran logis), yakni aktivitas budi manusia yang diarahkan sesuai dengan kaida-kaida logika.

Dengan demikian filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran relatif terhadap matematika. Matematika menjadi suatu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu sendiri. Ciri reflektif yang demikian itu ditekankan oleh filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan ”philosophy is reflektive. The philosophizing mind never simply thinks also about any object, thinks also about its own thought about that object.” (filsafat bersifat relektif tidaklah semata-mata berpikir tentang suatu obyek; sambil berpikir tentang sesuatu obyek,budi itu senantiasa berpikir juga tentang pemikirannya sendiri mengenai obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek-obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga menumbuhkan filsafat matematik agar memperoleh pemahaman  apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli-ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan perumusan-perumusan dari 2 buku matematik dan 22 kamus filsafat yang berikut  :

1.      ”A philosophy of mathematics might be described as a viewpoint from  which the various bits and pieces of mathematics can be organized and unifiet by some basic principles.” (suatu filsafat matematik dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandang yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan   matematik    dapat  disusun dan dipersatukan berdasarkan beberapaasas dasar).

2.      In particular, a philosophy of mathematics essentially amounts to an  attempted reconstruction in which the chaotic mass of  mathematical knowledge accumulated over the ages is given a certain sense or order.”  (Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahun matematika yang kacau balau yang terhimpun seama berabat-abat diberi suatu makna atau ketertiban tetentu.)

3.      ”The study of the concepts of and justification for the principles used in mathematis.”(Penelaahan tentang konsep dari pembenaran terhadap asas-asas yang dipergunakan dalam matemarik.)

4.      “The study of the concepts and systems appearing in matematics, and of the justification of matematical statements.(Penelaahan tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan matematika.)

Dua pendapat yang pertama dari ahli-ahli matematika menitikberatkan filsafat matematika sebagai usaha menyusun dan menerbitkan bagian-bagian dari matematika yang selama ini terus berkembangbiak. Sedang dua definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pernyataan matematika.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth disampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainnya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of matematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematik (foundations of matematics).

Landasan matematika kadang-kadang dipersamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Foundations of matematics khususnya bersangkut paut dengan konsep-konsep dan asas-asas fundamental (fundamental concepts and principles) yang dipergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua, definisi philosophy of matematics dari kamus-kamus filsafat tersebutdi atas lebih merupakan batasan dari pengertian landasan matematik.

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah-olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan di muka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika.Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ’foudations’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme, dan intuitionisme.

1.      Mazhab logisisme

Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand Arthur William Russell. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematik dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematik dapat diturunkan dari logika.

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundationsf mathematics meneruskan penelaahannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matematik dan bahkan juga tentang metode matematik, Hal ini ditegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut :”The study of the foundations of mathenatics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics atarts. Espencially since 1900, foundational investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods.” (Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan pikiran-patokan pikiran mengenai konsep-konsep itu yang dengannya matematika bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsng hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika.)

Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematika dan logika itu sebagai berikut :”But both have developed in moden times : logic has become more mathematical and mathematicshas become more logical. The consequence is that it has now become wholly impossible to drawa line between the two; in fact, the two are one. They differ as boy and man : logic is the youth ofmathematics and mathematics is the manhood oflogic.” (Tetapi kedua-duanya berkembang dalamzaman modern: logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Akibaynya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis di antara keduanya ; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa : logika merupakan masamuda dari matematik dan matematik merupakanmasa dewasa dari logika.)

2.      Mazhab formalime

Mazhab formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut Mazhab ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sifat lambang yang formal. Matematika bersangkut paut dengan sifat-sifat structural dari simbol-simbol dan poses pengolahan terhadap lambing-lambang itu. Simbol-simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi obyek matematika. Bilangan-bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat structural yang paling sederhanan dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatuarti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja.

Mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung Mazhab tersebut merumuskan matematik sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal (Mathematics is the science of formal systems.)

3.      Mazhab intuitionisme

Mazhab intuitionisme adalah mazhab yang berlawanan dengan Mazhab formalisme,  dipelopori oleh ahli matematik Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik adalah sama dengan bagian yang eksak dari memikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal manusia ( human intellect) dan tidak pada symbol-simbol di atas kertas sebagaimana di yakini oleh mazhab formalisme. Dalam pemikiran mazhab intuitionisme matematik berlandaskan suatu ilham dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hekatnya merupakan suatu aktivita berpirir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, sertabersifat obyektif.

Istilah ’logical foundations’dapat juga di persamakan dengan’philosophical foundations’ (landasan filsafati) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1891-1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu disadarkan terhadap kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikiran-patokanpikiran yang dipergunakannya sebagai pangkal dalam ilmunya.